Question

若平面點集M滿足：任意點（x，y）∈M，存在t∈（0，+∞），都有（tx，ty）∈M，則稱該點集M是“t階穩定”點集，現有四個命題：
①對任意平面點集M，都存在正數t，使得M是“t階穩定”點集；
②若M={（x，y）|x²≥y}，則M是“

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階穩定”點集；
③若M={（x，y）|x²+y²+2x+4y=0}，則M是“2階穩定”點集；
④若M={（x，y）|x²+2y²≤1}，是“t階穩定”點集，則t的取值范圍是（0，1]．
其中正確命題的序號為（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、①④
• D、③④

Answer 1

考點：元素與集合關系的判斷,進行簡單的合情推理

專題：集合

分析：首先，對于①，直接判斷即可，對于②：取（2，3），代人驗證即可，對于③：取（1，-1）驗證即可，對于④：則直接根據“t階穩定”點集進行求解．

解答：解：對于①：平面點集M={（x，y）|x，y∈R}，
∴（tx，ty）∈M，
∴①正確；
對于②：∵M={（x，y）|x²≥y}，
∴取（2，3），
而點（1，

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）∉M，
∴②錯誤；
對于③：取（1，-1）為集合M上的一點，
則（2，-2）∉M，
∴③錯誤；
對于④：∵x²+2y²≤1，根據題意，得
∴t²（x²+2y²）≤1，
∵t∈（0，+∞），
∴t∈（0，1]．
∴④正確；
故選：C

點評：本題重點考查了集合的元素特征，屬于信息給予題，難度中等．準確理解給定的信息是解題的關鍵．