Question

【題目】已知函數f（x）=x2+4[sin（θ+ ）]x﹣2，θ∈[0，2π]]．
（1）若函數f（x）為偶函數，求tanθ的值；
（2）若f（x）在[﹣ ，1]上是單調函數，求θ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是偶函數，∴f（﹣x）=f（x），

則x2+4[sin（θ+ ）]x﹣2=x2﹣4[sin（θ+ ）]x﹣2，

則sin（θ+ ）=0，

∵θ∈[0，2π]，

∴θ+ =kπ，

即θ=﹣ +kπ，

∴tanθ=tan（﹣ +kπ）=﹣ ．

（2）解：∵f（x）=x2+4[sin（θ+ ）]x﹣2，θ∈[0，2π]]．

∴對稱軸為x=﹣2sin（θ+ ），

若f（x）在[﹣ ，1]上是單調函數，

則﹣2sin（θ+ ）≥1或﹣2sin（θ+ ）≤ ，

即sin（θ+ ）≥ 或sin（θ+ ）≤ ，

即2kπ+ ≤θ+ ≤2kπ+ ，或2kπ+ ≤θ+ ≤2kπ+ ，k∈Z，

即2kπ+ ≤θ≤2kπ+ ，或2kπ≤θ≤2kπ+ ，k∈Z，

∵θ∈[0，2π]，

∴ ≤θ≤ ，或0≤θ≤

【解析】（1）根據函數奇偶性的定義建立方程關系進行求解即可．（2）利用一元二次函數的單調性的性質進行判斷即可．
【考點精析】通過靈活運用函數的奇偶性，掌握偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱即可以解答此題．