Question

【題目】設.

（1）討論f(x)的單調性；

（2）當x>0時，f(x)>0恒成立，求k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析（2）

【解析】

（1）求函數導數，根據的取值范圍分類討論即可求出函數的單調性；

（2）由（1）求函數在時的最小值，問題轉化為函數的最小值大于0恒成立，根據函數單調性，分類討論求函數的最小值，并判定最小值與0的大小關系即可求解.

（1），

，

①當時，即時，，

在上是減函數；

②當時，即時，

由，

解得，

當時，，當時，，

在單調遞減，在上單調遞增，

綜上，時，函數在上是減函數，無單調增區間；

時，函數在單調遞減，在上單調遞增.

（2）由（1）知，

若時，在無最小值，所以f(x)>0不恒成立；

若時，

①當時，，

所以函數在上單調遞增，

所以，

即當x>0時，f(x)>0恒成立；

②當時，，

函數在遞減，在上遞增，

所以當時，

，

只需即可，

令，，

則，

所以在上是增函數，

故，

即無解，

所以時，f(x)>0不恒成立。

綜上，k的取值范圍為.