Question

【題目】如圖，在五面體ABCDEF中，面CDE和面ABF都為等邊三角形，面ABCD是等腰梯形，點P、Q分別是CD、AB的中點，FQ∥EP，PF=PQ，AB=2CD=2．
（1）求證：平面ABF⊥平面PQFE；
（2）若PQ與平面ABF所成的角為 ，求三棱錐P﹣QDE的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，

∵ABF為正三角形，且Q為AB的中點，∴FQ⊥AB，

在等腰梯形ABCD中，∵P、Q分別是CD、AB的中點，

∴PQ⊥AB，又FQ∩PQ=Q，∴AB⊥平面PEFQ，

又AB面ABF，∴平面ABF⊥平面PQFE

（2）解：取FQ中點O，連接PO，∵PQ=PF，∴PO⊥QF，

又平面ABF⊥平面PQFE，且平面ABF∩平面PQFE=QF，

∴PO⊥平面ABF，則∠PQO為PQ與平面ABF所成的角為 ，

∵等邊三角形ABF的邊長為2，∴QF= ，則OQ= ，則OP= ．

∴ ，

則 ．

【解析】（1）由ABF為正三角形，且Q為AB的中點，可得FQ⊥AB，再由已知得PQ⊥AB，利用線面垂直的判定可得AB⊥平面PEFQ，再由面面垂直的判定可得平面ABF⊥平面PQFE；（2）取FQ中點O，連接PO，可得∠PQO為PQ與平面ABF所成的角為 ，求出OP= ．得到三角形QPE的面積，然后利用等積法求得三棱錐P﹣QDE的體積．
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．