Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）過橢圓C的右焦點作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若為定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要求橢圓標準方程，要有兩個獨立的條件，本題中拋物線的焦點是，這樣有，另外由離心率，就可求得，得標準方程；

（Ⅱ）本題是解析幾何中定值問題，設出直線方程為，同時設交點為，由直線方程與橢圓方程聯立后消元后可得，利用已知求得（用表示），然后計算可證得結論．

試題解析：（I）設橢圓C的方程為，

因為拋物線的焦點坐標是 所以由題意知b = 1．

又有

∴橢圓C的方程為

（II）方法一：設A、B、M點的坐標分別為

易知右焦點的坐標為（2，0）．

將A點坐標代入到橢圓方程中，得

去分母整理得

方法二：設A、B、M點的坐標分別為

又易知F點的坐標為（2，0）．

顯然直線l存在的斜率，設直線l的斜率為k，則直線l的方程是

將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得

又