Question

（2010•眉山一模）對于定義在R上的函數f（x），有下述命題：
①若f（x）是奇函數，則f（x-1）的圖象關于點A（1，0）對稱；
②若函數f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，則f（x）為偶函數；
③若對x∈R，有f（x）=f（2-x），則函數f（x）關于直線x=1對稱；
④若對x∈R，有f(x+1)=-

1

f(x)

，則f（x）的最小值正周期為4．
其中正確命題的序號是

①②③

．（填寫出所有的命題的序號）

Answer 1

分析：f（x-1）的圖象由f（x）的圖象向右平移得到；而f（x）是奇函數，它的對稱中心是（0，0），從而可得f（x-1）的圖象關于點A（1，0）對稱；對于②，也可用類似的方法解決；對于x∈R，有f（x）=f（2-x），則函數f（x）關于直線x=1對稱，故③正確，若對x∈R，有f(x+1)=-

1

f(x)

，則f（x）的最小值正周期為2．故④不正確．

解答：解：∵f（x）是奇函數∴f（x）的圖象關于原點對稱，
而f（x-1）的圖象由f（x）的圖象向右移一個單位，
故f（x-1）的圖象關于點A（1，0）對稱，故①正確；
若函數f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，而f（x-1）的圖象由f（x）的圖象向右移一個單位，
則f（x）的圖象關于y軸對稱，∴f（x）為偶函數故②正確；
若對x∈R，有f（x）=f（2-x），則函數f（x）關于直線x=1對稱，故③正確，
若對x∈R，有f(x+1)=-

1

f(x)

，則f（x）的最小值正周期為2．故④不正確，
綜上可知①②③正確，
故答案為：①②③

點評：本題主要考查了抽象函數的奇偶性、單調性以及圖象的對稱性和平移變換等有關知識，是一道綜合題，需要對各性質都要清楚才能做出．