Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣ax﹣1﹣ ，x∈R．
（Ⅰ）若a= ，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若對任意x≥0都有f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）設函數F（x）=f（x）+f（﹣x）+2+x2 ， 求證：F（1）F（2）…F（n）＞（en+1+2） （n∈N*）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解： ，令g（x）=f'（x），則g'（x）=ex﹣1，

則當x∈（﹣∞，0）時，g'（x）＜0，f'（x）單調遞減，

當x∈（0，+∞）時，g'（x）＞0，f'（x）單調遞增．

所以有 ，所以f（x）在（﹣∞，+∞）上遞增…

（Ⅱ）解：當x≥0時，f'（x）=ex﹣x﹣a，令g（x）=f'（x），

則g'（x）=ex﹣1≥0，則f'（x）單調遞增，f'（x）≥f'（0）=1﹣a

當a≤1即f'（x）≥f'（0）=1﹣a≥0時，f（x）在（0，+∞）上遞增，f（x）≥f（0）=0成立；

當a＞1時，存在x0∈（0，+∞），使f'（x0）=0，

則f（x）在（0，x0）上遞減，則當x∈（0，x0）時，f（x）＜f（0）＜0，不合題意．

綜上a≤1．

（Ⅲ）證明：∵F（x）=ex+e﹣x，

∴

∴F（1）F（n）＞en+1+2，F（2）F（n﹣1）＞en+1+2

…F（n）F（1）＞en+1+2．

由此得，[F（1）F（2）…F（n）]2=[F（1）F（n）][F（2）F（n﹣1）]…[F（n）F（1）]＞（en+1+2）n

故 （n∈N*）．

【解析】（Ⅰ）求出導函數，對導函數二次求導，得出導函數的最小值為 ＞0，判斷原函數遞增；（Ⅱ）二次求導，得出導函數遞增，對1﹣a進行分類討論，得出a的范圍；（Ⅲ）求出F（x）=ex+e﹣x，利用放縮法判斷

得出F（1）F（n）＞en+1+2，…F（n）F（1）＞en+1+2．最后得出結論．