Question

【題目】函數f（x）=x2+ax+3，已知不等式f（x）＜0的解集為{x|1＜x＜3}．
（1）求a；
（2）若不等式f（x）≥m的解集是R，求實數m的取值范圍；
（3）若f（x）≥nx對任意的實數x≥1成立，求實數n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=x2+ax+3，

且f（x）＜0的解集為{x|1＜x＜3}，

∴a=﹣4

（2）解：由（1）得：f（x）=x2﹣4x+3，

∴f（x）=（x﹣2）2﹣1，

∴f（x）最小值為﹣1，

∴不等式f（x）≥m的解集為R，

實數m的取值范圍為m≤﹣1

（3）解：∵f（x）≥nx對任意的實數x≥1都成立，

即x2﹣4x+3≥nx對任意的實數x≥1都成立，

兩邊同時除以x得到：x+ ﹣4≥n對任意的實數x≥1都成立，

令g（x）=x+ ﹣4，x≥1，

g′（x）=1﹣ = ，

令g′（x）＞0，解得：x＞ ，令g′（x）＜0，解得：x＜ ，

故g（x）在[1， ）遞減，在（ ，+∞）遞增，

故g（x）min=g（ ）=﹣4+2 ，

故n≤g（x）min=﹣4+2

【解析】（1）根據二次函數根與系數的關系求出a的值即可；（2）求出函數的解析式，根據二次函數的性質求出f（x）的最小值，從而求出m的范圍即可；（3）問題轉化為x+ ﹣4≥n對任意的實數x≥1都成立，令g（x）=x+ ﹣4，x≥1，根據函數的單調性求出g（x）的最小值，從而求出n的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了解一元二次不等式的相關知識點，需要掌握求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項前的系數為正數;二判：判斷對應方程的根;三求：求對應方程的根;四畫：畫出對應函數的圖象;五解集：根據圖象寫出不等式的解集;規律：當二次項系數為正時，小于取中間，大于取兩邊才能正確解答此題．