Question

已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）證明：對(duì)任意的 ，有.

Answer 1

（1）①時(shí)，在（0,1）是增函數(shù)，在是減函數(shù)；
②時(shí)，在（0,1），是增函數(shù)，在是減函數(shù)；
③時(shí)，在是增函數(shù).
（2）見(jiàn)解析.

解析試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)得到，而后根據(jù)兩個(gè)駐點(diǎn)的大小比較，分以下三種情況討論.
①時(shí)，在（0,1）是增函數(shù)，在是減函數(shù)；
②時(shí)，在（0,1），是增函數(shù)，在是減函數(shù)；
③時(shí)，在是增函數(shù).
（2）注意到時(shí)，在是增函數(shù)
當(dāng)時(shí)，有.從而得到：對(duì)任意的，有
通過(guò)構(gòu)造，并放縮得到
利用裂項(xiàng)相消法求和，證得不等式。涉及數(shù)列問(wèn)題，往往通過(guò)“放縮、求和”轉(zhuǎn)化得到求證不等式.
試題解析：（1）      1分
①時(shí)，在（0,1）是增函數(shù)，在是減函數(shù)；        3分
②時(shí)，在（0,1），是增函數(shù)，在是減函數(shù)；      5分
③時(shí)，在是增函數(shù).      6分
（2）由（1）知時(shí)，在是增函數(shù)
當(dāng)時(shí)，.
對(duì)任意的，有
                  8分
                  10分
所以
                     12分
考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式，“裂項(xiàng)相消法”求和.