已知函數
的導函數
是二次函數，當
時，有極值，且極大值為2，
.
（1）求函數的解析式；
（2）
有兩個零點，求實數
的取值范圍；
（3）設函數
，若存在實數
，使得
，求
的取值范圍.
（1）
；（2）
；（3）
.
解析試題分析：（1）先通過函數的導函數是二次函數，且當時，有極值將函數的導函數設出來：
.從而可設
，其中
為常數.再由極大值為2及將
求出.注意，極大值為2，即
或
時，函數值為2.結合正好可以將其中一種情況舍去,從而解出
,于是得到函數的解析式；（2）由，
列出表格，分析函數的單調性和極值.有兩個零點，即方程
有兩個根，而
，即方程
與方程
各只有一個解.結合函數的單調性和極值，發現方程
只有當
或
時才只有一個解.所以有
或
或
，從而解得
或
；（3）由于存在實數，使得，也就是說
，否則就不存在實數，使得.因此本題轉化為求
在
上的最大值與最小值.根據條件可得
，所以其導函數
.然后討論
的范圍以得到在上單調性，從而找出最值.再通過不等式得到的取值范圍.注意當
時比較麻煩，在上先減后增，
，而最大值無法確定是
中的哪一個，所以我們用
來表示不等式.
試題解析：（1）由條件，可設，則，其中為常數.
因為極大值為2.所以
或
，即
或
.由得
①.所以
，即②.由①②可得，.所以.
（2）由（1），得，即.列表：
，其中
. 
在
處取得極值，求常數
的值；
，
，若
元素中有唯一的整數，求
時，試討論函數
的單調性；
，有
.
，
，
.
在
上單調遞增；
有四個零點，求
的取值范圍.
，曲線
在點
處的切線是
：
，
的值；
在
上單調遞增，求
的取值范圍 
，曲線
在點
處切線方程為
。
的值；
的單調性，并求
，使得
恒成立，求實數
的取值范圍；
，不等式
成立.
(
). 
時,求函數
的單調區間;
時,
,求函數
上的最小值;
,都有
.