Question

已知三棱錐P-ABC的三條側棱兩兩垂直，且分別長為2、4、4，則頂點P到面ABC的距離為

2 6

3

．

Answer 1

分析：以PA、PB、PC為過同一頂點的三條棱，構造長方體，以CP為x軸，以CD為y軸，以CG為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求解．

解答：解：以PA、PB、PC為過同一頂點的三條棱，作長方體如圖，
以CP為x軸，以CD為y軸，以CG為z軸，建立空間直角坐標系，
∵PA=2，PB=PC=4，
∴P（4，0，0），A（4，0，2），B（4，4，0），C（0，0，0），
∴

CP

=（4，0，0），

CA

=(4，0，2)，

CB

=（4，4，0），
設平面ABC的法向量

n

=(x，y，z)，則

n

•

CA

=0，

n

•

CB

=0，
∴

4x+2z=0 4x+4y=0

，解得

n

=（1，-1，-2），
∴頂點P到面ABC的距離d=

| CP • n |

| n |

=

|4+0+0|

1+1+4

=

2 6

3

．
故答案為：

2 6

3

．

點評：本題考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，合理地構造長方體，注意向量法的合理運用．