Question

已知三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分別為AC、PC的中點，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求證：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱錐P-ABC所成上、下兩部分的體積比．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明BD⊥平面ACP，可得BD⊥AP，根據AP⊥DE，，利用線面垂直的判定，可得AP⊥平面BDE
（Ⅱ）截面BEF分三棱錐P-ABC所成上、下兩部分，均可看成是以B為頂點的棱錐，根據AE：EP=1：2，F為AC的中點，求出兩個棱錐底面積的比例，即可得到答案．

解答：證明：（Ⅰ）∵PC⊥底面ABC，
∴PC⊥BD，
又AB=BC，D為AC中點，
∴BD⊥AC
∵PC∩AC=C
∴BD⊥平面ACP
∵AP?平面ACP，
∴BD⊥AP，又AP⊥DE，BD∩DE=D，
∴AP⊥平面BDE
解：（II）∵AE：EP=1：2，F為AC的中點，
∴S_△PEF：S_△PAC=

1

2

×

2

3

=1：3
則S_△PEF：S_{四邊形ACEF}=1：2
∵截面BEF分三棱錐P-ABC所成上、下兩部分是均以B為頂點，底面分別為△PEF和四邊形ACEF的棱錐
故截面BEF分三棱錐P-ABC所成上、下兩部分的體積比即為S_△PEF：S_{四邊形ACEF}=1：2

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，棱錐的體積，（I）的關鍵是熟練掌握線面垂直的判定定理，（II）的關鍵是利用等積法將兩個多面體轉化為以B為頂點的棱錐體積．