Question

（2009•黃浦區(qū)二模）已知三棱錐P-ABC的棱長(zhǎng)都是2，點(diǎn)D是棱AP上不同于P的點(diǎn)．
（1）試用反證法證明直線(xiàn)BD與直線(xiàn)CP是異面直線(xiàn)．
（2）求三棱錐P-ABC的體積V_P-ABC．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)BD與CP不是異面直線(xiàn)，即BD與CP都在平面α上，從而可得出點(diǎn)A、B、C、P都在平面α上，這與P-ABC是三棱錐矛盾，故假設(shè)不成立，得證；
（2）求三棱錐P-ABC的體積V_P-ABC．選△ABC為底，故關(guān)鍵是求出底面上的高，為此利用底面三角形是正三角形，可求．

解答：解：（1）證明：（反證法）假設(shè)BD與CP不是異面直線(xiàn)．（2分）
設(shè)BD與CP都在平面α上．∵P∈α，D∈α，∴PD?α．又A∈PD，∴A∈α．
∴點(diǎn)A、B、C、P都在平面α上，這與P、A、B、C不共面（P-ABC是三棱錐）矛盾，于是，假設(shè)不成立．（5分）
所以直線(xiàn)BD與CP是異面直線(xiàn)．（6分）
（2）設(shè)錐頂點(diǎn)P在底面的射影為O．∵P-ABC的棱長(zhǎng)都是2，∴△ABC是正三角形．
∴AO=BO=CO(=

PA2-PO2

)，
即O為底面三角形的中心，因此P-ABC為正三棱錐．連接BO并延長(zhǎng)交AC于E，則BE⊥AC．
∵AB=BC=AC=PB=2，∴BE=ABsin60°=

3

．　　　　　　　　　　（8分）
∴BO=

2 3

3

，進(jìn)一步可得PO=

PB2-BO2

=

4- 4 3

=

2 6

3

．　　 　（10分）
∴VP-ABC=

1

3

S△ABC•PO
=

1

3

•

2 6

3

•

1

2

•2•2•sin60°
=

2 2

3

．                        　　 　　 　　　 　 　（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是反證法，主要考查反證法證明異面直線(xiàn)問(wèn)題，關(guān)鍵是利用反證法的步驟，恰當(dāng)反設(shè)，通過(guò)推理論證引出矛盾，考查三棱錐體積的計(jì)算，關(guān)鍵是選好底面，求出高．