Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，平面側面，且．

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成角的大小為，求銳二面角的大小．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）如圖，取的中點，連接.

因為，所以.

由平面側面，且平面側面，

得平面. ………………（3分）

又平面，所以，

因為三棱柱是直三棱柱，則底面，

所以

又，從而側面，又側面，

故． ………………（6分）

（2）解法一：連接，由（1）可知平面，則是在平面內的射影．

∴即為直線與平面所成的角，則.

在等腰直角中，，且點是中點，

∴，又，，∴．

過點作于點，連接，由（1）知平面，則，又，∴，

∴即為二面角的一個平面角. ………………（9分）

在直角中，，

又，，

∴，

又二面角為銳二面角，∴，

即二面角的大小為． ………………（12分）

解法二（向量法）：由（1）知且底面，所以以點為原點，以所在直線分別為， ，軸建立空間直角坐標系.

設，則，，，，，，，.

設平面的一個法向量，由，，得.

令，得，則.

設直線與平面所成的角為，則，

所以，

解得， 即．

又設平面的一個法向量為，同理可得.

設銳二面角的大小為，則，

由，得.

∴銳二面角的大小為． ………………（12分）

【命題意圖】本小題主要考查線線垂直，線面垂直，二面角等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，并考查應用向量知識解決立體幾何問題的能力．