Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）．
（1）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分別記為M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；
（2）設(shè)b∈R，若[f（x）+b]2≤4對(duì)x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x3+3|x﹣a|= ，

∴f′（x）= ，

①a≤﹣1時(shí)，∵﹣1≤x≤1，∴x≥a，f（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)，

∴M（a）=f（1）=4﹣3a，m（a）=f（﹣1）=﹣4﹣3a，

∴M（a）﹣m（a）=8；

②﹣1＜a＜1時(shí)，x∈（a，1），f（x）=x3+3x﹣3a，在（a，1）上是增函數(shù)；x∈（﹣1，a），f（x）=x3﹣3x+3a，在（﹣1，a）上是減函數(shù)，

∴M（a）=max{f（1），f（﹣1）}，m（a）=f（a）=a3，

∵f（1）﹣f（﹣1）=﹣6a+2，

∴﹣1＜a≤ 時(shí)，M（a）﹣m（a）=﹣a3﹣3a+4；

＜a＜1時(shí)，M（a）﹣m（a）=﹣a3+3a+2；

③a≥1時(shí)，有x≤a，f（x）在（﹣1，1）上是減函數(shù)，

∴M（a）=f（﹣1）=2+3a，m（a）=f（1）=﹣2+3a，

∴M（a）﹣m（a）=4；

（2）解：令h（x）=f（x）+b，則h（x）= ，h′（x）= ，

∵[f（x）+b]2≤4對(duì)x∈[﹣1，1]恒成立，

∴﹣2≤h（x）≤2對(duì)x∈[﹣1，1]恒成立，

由（Ⅰ）知，

①a≤﹣1時(shí)，h（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)，最大值h（1）=4﹣3a+b，最小值h（﹣1）=﹣4﹣3a+b，則﹣4﹣3a+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2矛盾；

②﹣1＜a≤ 時(shí)，最小值h（a）=a3+b，最大值h（1）=4﹣3a+b，∴a3+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2，

令t（a）=﹣2﹣a3+3a，則t′（a）=3﹣3a2＞0，t（a）在（0， ）上是增函數(shù)，∴t（a）＞t（0）=﹣2，

∴﹣2≤3a+b≤0；

③ ＜a＜1時(shí)，最小值h（a）=a3+b，最大值h（﹣1）=3a+b+2，則a3+b≥﹣2且3a+b+2≤2，∴﹣ ＜3a+b≤0；

④a≥1時(shí)，最大值h（﹣1）=3a+b+2，最小值h（1）=3a+b﹣2，則3a+b﹣2≥﹣2且3a+b+2≤2，∴3a+b=0．

綜上，3a+b的取值范圍是﹣2≤3a+b≤0

【解析】（1）利用分段函數(shù)，結(jié)合[﹣1，1]，分類(lèi)討論，即可求M（a）﹣m（a）；（2）令h（x）=f（x）+b，則h（x）= ，h′（x）= ，則[f（x）+b]2≤4對(duì)x∈[﹣1，1]恒成立，轉(zhuǎn)化為﹣2≤h（x）≤2對(duì)x∈[﹣1，1]恒成立，分類(lèi)討論，即可求3a+b的取值范圍．