Question

【題目】設a1=1，an+1= +b（n∈N*）
（1）若b=1，求a2 ， a3及數列{an}的通項公式；
（2）若b=﹣1，問：是否存在實數c使得a2n＜c＜a2n+1對所有的n∈N*成立，證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=1，an+1= +b，b=1，

∴a2=2，a3= +1；

又（an+1﹣1）2=（an﹣1）2+1，

∴{（an﹣1）2}是首項為0，公差為1的等差數列；

∴（an﹣1）2=n﹣1，

∴an= +1（n∈N*）；

（2）解：設f（x）= ，則an+1=f（an），

令c=f（c），即c= ﹣1，解得c= ．

下面用數學歸納法證明加強命題a2n＜c＜a2n+1＜1．

n=1時，a2=f（1）=0，a3=f（0）= ﹣1，∴a2＜c＜a3＜1，成立；

設n=k時結論成立，即a2k＜c＜a2k+1＜1

∵f（x）在（﹣∞，1]上為減函數，

∴c=f（c）＞f（a2k+1）＞f（1）=a2，

∴1＞c＞a2k+2＞a2，

∴c=f（c）＜f（a2k+2）＜f（a2）=a3＜1，

∴c＜a2k+3＜1，

∴a2（k+1）＜c＜a2（k+1）+1＜1，即n=k+1時結論成立，

綜上，c= 使得a2n＜c＜a2n+1對所有的n∈N*成立

【解析】（1）若b=1，利用an+1= +b，可求a2 ， a3；證明{（an﹣1）2}是首項為0，公差為1的等差數列，即可求數列{an}的通項公式；（2）設f（x）= ，則an+1=f（an），令c=f（c），即c= ﹣1，解得c= ．用數學歸納法證明加強命題a2n＜c＜a2n+1＜1即可．
【考點精析】本題主要考查了數列的通項公式和數學歸納法的定義的相關知識點，需要掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式；數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法才能正確解答此題．