Question

在數列{a_n}中,a₁=a,a_n+1=,n=1,2,3,….

(1)若對于n∈N^*,均有a_n+1=a_n成立,求a的值;

(2)若對于n∈N^*,均有a_n+1＞a_n成立,求a的取值范圍;

(3)請你構造一個無窮數列{b_n},使其滿足下列兩個條件,并加以證明:

①b_n＜b_n+1,n=1,2,3,…;

②當a為{b_n}中的任意一項時,{a_n}中必有某一項的值為1.

Answer 1

解：(1)依題意,a_n+1=a_n=a,n=1,2,3,….

所以a=,解得a=2或a=3,符合題意.

(2)解不等式a_n+1＞a_n,即＞a_n,得a_n＜0或2＜a_n＜3.

所以,要使a₂＞a₁成立,則a₁＜0或2＜a₁＜3.

①當a₁＜0時,a₂=f(a₁)==5＞5,

而a₃-a₂=f(a₂)-a₂=-a₂

=＜0,

即a₃＜a₂,不滿足題意.

②當2＜a₁＜3時,a₂=f(a₁)==5∈(2,3),a₃=5∈(2,3),…,滿足題意.

綜上,a∈(2,3).

(3)構造數列{b_n}:b₁=,b_n+1=(n∈N^*),

那么b_n=5.不妨設a取b_n,

那么a₂=5=5=b_n-1,

a₃=5=5=b_n-2,

…,

a_n=5=5=b₁=,

a_n+1=5=5=1.

由b₁=＜2,可得b_n=＜2(n＞1,n∈N^*).

因為b_n+1-b_n=-b_n=＞0,

所以b_n＜b_n+1,n=1,2,3,….

又b_n＜2≠5,所以數列{b_n}是無窮數列,因此構造的數列{b_n}符合題意.