Question

【題目】已知圓的方程為，直線的方程為，點在直線上，過點作圓的切線，切點為.

（1）若點的坐標為，求切線的方程；

（2）求四邊形面積的最小值；

（3）求證：經過三點的圓必過定點，并求出所有定點坐標.

Answer 1

【答案】（1）或（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）解：①當切線斜率不存在時，切線方程為；②當切線斜率存在時，設切線方程為，根據直線和圓相切，求得，即可得到直線的方程；

（2）由四邊形的面積，得到當最小時，四邊形的面積最小，轉化為點到直線的距離，即可求解，即可求解面積的最小值.

（3）設點，得到圓心坐標是，進而得到圓的方程，利用圓系方程，進而可判定經過三點的圓必過定點.

試題解析：

（1）①當切線斜率不存在時，切線方程為；

②當切線斜率存在時，設切線方程為，

因為直線和圓相切，所以圓心到切線的距離，解得，

所以切線方程為，即.

故所求切線方程為或.

（2）四邊形的面積，

所以當最小時，四邊形的面積最小.

又的最小值是圓心到直線的距離，

即.

所以四邊形的面積最小值是.

（3）證明：過三點的圓即以為直徑的圓，

設點，則圓心坐標是，

以為直徑的圓的方程是 ，

化簡，得，

即.（*）

令，解得或.

由于不論為何值，點、的坐標都適合方程（*），所以經過三點的圓必過定點，定點坐標是和.