Question

【題目】如果有一天我們分居異面直線的兩頭，那我一定穿越時空的阻隔，畫條公垂線向你沖來，一刻也不愿逗留.如圖1所示，在梯形中，//，且，，分別延長兩腰交于點，點為線段上的一點，將沿折起到的位置，使，如圖2所示．

（1）求證：；

（2）若，，四棱錐的體積為，求四棱錐的表面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

⑴先證平面，繼而，又，證得面，即可證得

⑵分別計算出梯形面積和四個三角形面積即可得到表面積

（1）證明：因為∠C＝90°，即AC⊥BC，且DE∥BC，

所以DE⊥AC，則DE⊥DC，DE⊥DA1，

又因為DC∩DA1＝D，

所以DE⊥平面A1DC.

因為A1F平面A1DC，

所以DE⊥A1F.

又因為A1F⊥CD，CD∩DE＝D，

所以A1F⊥平面BCDE，

又因為BE 平面BCDE，

所以A1F⊥BE．

（2）解：由已知DE∥BC，且DE＝BC，得D，E分別為AC，AB的中點，

在Rt△ABC中，，則A1E＝EB＝5，A1D＝DC＝4，

則梯形BCDE的面積S1＝×(6＋3)×4＝18，

四棱錐A1—BCDE的體積為V＝×18×A1F＝12，即A1F＝2，

在Rt△A1DF中，，即F是CD的中點，

所以A1C＝A1D＝4，

因為DE∥BC，DE⊥平面A1DC，

所以BC⊥平面A1DC，所以BC⊥A1C，所以，

在等腰△A1BE中，底邊A1B上的高為，

所以四棱錐A1—BCDE的表面積為

S＝S1＋＋＋＋

＝18＋×3×4＋×4×2＋×6×4＋×2×2＝36＋4＋2．