Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=﹣x2+alnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣2x+2x2 ， 討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（3）若（2）中函數(shù)g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2（x1＜x2），且不等式g（x1）≥mx2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)楫?dāng)a=2時(shí)，f（x）=﹣x2+2lnx，

所以f′（x）=﹣2x+ ．

因?yàn)閒（1）=﹣1，f'（1）=0，

所以切線方程為y=﹣1；

（2）解：g（x）=x2﹣2x+alnx的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=2x﹣2+ = ，

a≤0，單調(diào)遞增區(qū)間是（ ，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間是（0， ）；

0＜a＜ ，單調(diào)遞增區(qū)間是（0， ），（ ，+∞）；

單調(diào)遞減區(qū)間是（ ， ）；

a≥ ，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；

（3）解：由（2）函數(shù)g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），

0＜a＜ ，x1+x2=1，0＜x1＜ ， ＜x2＜1

=1﹣x1+ +2x1lnx1，

令h（x）=1﹣x+ +2xlnx（0＜x＜ ），h′（x）= +2lnx，

由0＜x＜ ，則 ＜0，

又2lnx＜0，則h′（x）＜0，即h（x）在（0， ）遞減，

即有h（x）＞h（ ）=﹣ ﹣ln2，即m≤﹣ ﹣ln2，

即有實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，﹣ ﹣ln2]

【解析】（1）求當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；（3）不等式g（x1）≥mx2恒成立即為 ≥m，求得 =1﹣x1+ +2x1lnx1 ， 令h（x）=1﹣x+ +2xlnx（0＜x＜ ），求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到h（x）的范圍，即可求得m的范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．