Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

已知圓的極坐標方程為，直線的參數方程為（為參數）．若直線與圓相交于不同的兩點，．

（Ⅰ）寫出圓的直角坐標方程，并求圓心的坐標與半徑；

（Ⅱ）若弦長，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（I）；（II）或．

【解析】

試題分析：（I）化極坐標方程為直角坐標方程主要是利用公式，，來完成．代入可得，配方得，所以圓心為，半徑為；（II）在極坐標方程與參數方程的條件下求解直線與圓的位置關系問題，通常將極坐標方程與參數方程均化為直角坐標方程來解決．由直線的參數方程知直線過定點，直線的方程為．利用弦長等于可求得斜率或．

試題解析：（Ⅰ）由，得

將，代入可得，

配方，得，所以圓心為，半徑為．

（Ⅱ）由直線的參數方程知直線過定點，

則由題意，知直線的斜率一定存在，因此不妨設直線的方程為的方程為．

因為,所以，解得或