Question

【題目】如圖，在正三棱柱中，點是棱的中點，．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的平面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連結交于點，連結，利用四邊形是平行四邊形，進而證明出∥，即可利用線面平行的判定定理，證得平面；（2）分別以所在的直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，分別求解平面和平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的平面角的余弦值，進而求解其正弦值．

試題解析：（Ⅰ）證明：連結交于點，連結．

在正三棱柱中，四邊形是平行四邊形，∴．

∵，∴∥．

∵平面，平面， ∴∥平面．

（2）過點作交于，過點作交于．因為平面平面，所以平面．分別以所在的直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示．因為，是等邊三角形，所以為的中點．則，，，，，，B（，0，0）

（Ⅰ）設平面的法向量為，則

∵，，∴

取，得平面的一個法向量為

=（1，－，0）·=0∴∥平面．

（Ⅱ）可求平面的一個法向量為．

設二面角的大小為，則．

∵，