Question

四棱錐底面是平行四邊形，面面,,,分別為的中點.

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）二面角的余弦值為.

試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景考查線面平行的判斷和二面角的求法，可以運用傳統幾何法，也可以用空間向量方法求解，突出考查空間想象能力和計算能力.法一：第一問，先作輔助線，利用中位線證，由中點得，所以得，所以，是平行四邊形，得到，所以得出結論面；第二問，先作二面角的平面角，先通過已知證明是二面角的平面角，再證明是直角三角形，在這個直角三角形中求出，再求.法二：（1）先由余弦定理證明，得，由此建系，寫出各點坐標，求，求出面的法向量，由得面；（2）先求面的法向量，面的法向量，由公式，由已知二面角為銳角得出結論.
試題解析：（1）取的中點，連，由題意設，     2分
，
是平行四邊形,所以    4分
面，面，∴面   6分

(2)取 的中點,連，   8分
是等邊三角形，∴，

∴,
是二面角的平面角                             10分
知 面，，
在中，，                    12分
即二面角的余弦值為               14分

解法二 （1）中，，，
由余弦定理
所以，，所以，，
所以，面面，，∴面，            2分
建系，令 ，

,
         ..4分
因為平面PAB的法向量
，∴面，     ..6分
(2) 設平面PAD的法向量為  
,    8分
     10分
令所以    12分
平面的法向量   13分
，即二面角的余弦值為         14分