Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱AA₁⊥底面A₁B₁C₁，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，D是棱CC₁的中點，P是AD的延長線與A₁C₁的延長線的交點．
（Ⅰ）求證：PB₁∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的大小；
（Ⅲ）在直線B₁P上是否存在一點Q，使得DQ⊥平面A₁BD，若存在，求出Q點坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

以A₁為原點，A₁B、A₁C、A₁A分別為x軸、y軸、z軸，建立坐標系如圖所示
可得A₁（0，0，0），B₁（1，0，0），C₁（0，1，0），
B（1，0，1），P（0，2，0）
（I）在△PAA₁中，C₁D=

1

2

AA₁，則D（0，1，

1

2

）
∴

A1B

=（1，0，1），

A1D

=（0，1，

1

2

），

B1P

=（-1，2，0）
設平面BDA₁的一個法向量為

a

=（x，y，z）
則

a • A1B =x+z=0 a • A1D =y+ 1 2 z=0

，取z=-1，得

a

=（1，

1

2

，-1）
∵

a

•

B1P

=1×（-1）+

1

2

×2+（-1）×0=0
∴直線PB₁與平面BDA₁的法向量垂直，可得PB₁∥平面BDA₁；
（II）由（I）知平面BDA₁的一個法向量

a

=（1，

1

2

，-1）
又

b

=（1，0，0）為平面AA₁D的一個法向量
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

|a| • |b|

=

2

3

，即二面角A-A₁D-B的平面角的余弦值為

2

3

因此，二面角A-A₁D-B的大小為arccos

2

3

；
（III）根據點Q在B₁P上，設Q的坐標為Q（λ，2-2λ，0）
∵D（0，1，

1

2

），∴

DQ

=（λ，1-2λ，-

1

2

）
若DQ⊥平面A₁BD，則平面BDA₁的法向量

a

=（1，

1

2

，-1）與

DQ

垂直
可得

a

•

DQ

=0，即λ×1+（1-2λ）×

1

2

+（-

1

2

）×（-1）=0，
解之得1=0矛盾
故向量

a

與

DQ

不可能垂直，即直線B₁P上不存在一點Q，使得DQ⊥平面A₁BD．