Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，BC=2，CC₁=3，

CE

=2

EC1

（1）求點D₁到平面BDE的距離；
（2）求直線A₁B與平面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

（1）如圖建立空間直角坐標系：
D（0，0，0），B（2，4，0），E（0，4，2），D₁（0，0，3），
∴

DB

=(2，4，0)，

DE

=(0，4，2)，

DD1

=（0，0，3）
設面DBE的法向量為

n

=(x，y，z)，
由

n ⊥ DB n ⊥ DE

⇒

2x+4y=0 4y+2z=0

，
令y=1，則x=-2，z=-2．

n

=(-2，1，-2)d=|

DD1 • n

| n |

|=|

(0，0，3)•(-2，1，-2)

3

|=2．
（2）A₁（2，0，3），B（2，4，0），

A1B

=(0，4，-3)
設直線A₁B與平面BDE所成的角為θ則sinθ=|cos＜

A1B

，

n

＞|=

| A1B • n |

| A1B || n |

=

10

5×3

=

2

3

．
所以直線A₁B與平面BDE所成角的正弦值為

2

3

．