Question

【題目】在數(shù)列中，，，

（1）設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）求數(shù)列的前項和.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由，可得，化簡得，即可證明；（2）由（1）可得：，，再利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前 項和公式即可得出.

試題解析：(1)證明 由已知an＋1＝2an＋2n，

得.

，又.

∴{bn}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．

(2)解 由(1)知，bn＝n，.∴an＝n·2n－1.

∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1

兩邊乘以2得：2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，

兩式相減得：－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n

＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，

∴Sn＝(n－1)·2n＋1.