Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，離心率為，設直線的斜率是，且與橢圓交于， 兩點.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程.

（Ⅱ）若直線在軸上的截距是，求實數的取值范圍.

（Ⅲ）以為底作等腰三角形，頂點為，求的面積.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ) .

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意求得， ，則橢圓的標準方程為．

(Ⅱ)聯立直線方程與橢圓方程，結合，可得實數的取值范圍是： ．

(Ⅲ)利用弦長公式可得，

利用兩點之間距離公式有，

則三角形的面積．

試題解析：

（Ⅰ）由已知得， ，

解得： ，又，

∴橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）若直線在軸上的截距是，

則可設直線的方程為，

將代入得：

，

，解得： ，

故實數的取值范圍是： ．

（Ⅲ）設、的坐標分別為，

的中點為，

則， ，

， ，

因為是等腰的底邊，

所以，∴，

∴，解得： ，

∴，

，

∴．