Question

如圖，設(shè)拋物線方程為x²=2py(p＞0),M為直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B.
（Ⅰ）求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；
（Ⅱ）已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-2p）時(shí)，，求此時(shí)拋物線的方程；
（Ⅲ）是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D在拋物線上，其中，點(diǎn)C滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析（2）拋物線方程為或⑶僅存在一點(diǎn)M(0，-2p)適合題意

（Ⅰ）證明：由題意設(shè)
由得，則                  所以
因此直線MA的方程為　　　
直線MB的方程為…………………2分
所以① ②
由①、②得　 因此　，即
所以A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列. …………………4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當(dāng)x₀=2時(shí)， 將其代入①、②并整理得：
　　所以　x₁、x₂是方程的兩根，
因此   又   
所以                                    …………………6分
由弦長(zhǎng)公式得
又，所以p=1或p=2，
因此所求拋物線方程為或…………………8分
（Ⅲ）解：設(shè)D(x₃,y₃)，由題意得C(x₁+ x₂, y₁+ y₂),
則CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為
設(shè)直線AB的方程為
由點(diǎn)Q在直線AB上，并注意到點(diǎn)也在直線AB上，
代入得
若D（x₃,y₃）在拋物線上，則
因此　x₃=0或x₃=2x₀.
即D(0，0)或   …………………10分
（1）當(dāng)x₀=0時(shí)，則，此時(shí)，點(diǎn)M(0,-2p)適合題意. ………………11分
（2）當(dāng)，對(duì)于D(0，0)，此時(shí)
又AB⊥CD，所以………………12分
即矛盾.
對(duì)于因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133133044665.gif" style="vertical-align:middle;" />此時(shí)直線CD平行于y軸，
又
所以　　直線AB與直線CD不垂直，與題設(shè)矛盾，
所以時(shí)，不存在符合題意的M點(diǎn).
綜上所述，僅存在一點(diǎn)M(0，-2p)適合題意. ………………………………14分