Question

已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為軸，焦點為,拋物線上一點的橫坐標為2，且.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點作直線交拋物線于，兩點,求證: .

Answer 1

(1)(2)詳見解析.

解析試題分析：(1)可利用待定系數法設拋物線方程為求解；
(2)因為是直線與圓錐曲線的相交問，可以設直線方程（斜率不存在時單獨討論），然后聯立拋物線方程和直線方程運用韋達定理結合條件來求解.
試題解析：解：(1)由題設拋物線的方程為：，
則點的坐標為，點的一個坐標為，2分
∵，∴，4分
∴，∴，∴.6分
(2)設、兩點坐標分別為、，
法一：因為直線當的斜率不為0，設直線當的方程為
方程組得，

因為
所以
=0，
所以.
法二：①當的斜率不存在時，的方程為，此時
即有所以.       8分
當的斜率存在時，設的方程為
方程組得
所以10分
因為
所以
所以.
由①②得.12分
考點：1.拋物線的標準方程；2.直線與圓錐曲線的位置關系.