Question

如圖,是橢圓的左、右頂點,橢圓的離心率為,右準線的方程為.

（1）求橢圓方程；
（2）設是橢圓上異于的一點,直線交于點,以為直徑的圓記為. ①若恰好是橢圓的上頂點,求截直線所得的弦長；
②設與直線交于點,試證明:直線與軸的交點為定點,并求該定點的坐標.

Answer 1

（1） （2） ①②

解析試題分析：（1）求橢圓方程，基本方法是待定系數法.關鍵是找全所需條件. 橢圓中三個未知數的確定只需兩個獨立條件，由可得值，（2） ①求圓被直線所截得弦長時，利用半徑、半弦長、圓心到直線距離三者成勾股列等量關系，先分別確定直線的方程與圓K的方程，②證明直線與軸的交點為定點,實質為求直線與軸的交點.由①知，點是關鍵點，不妨設點的坐標作為參數，先表示直線的方程，與圓的方程聯立解出點P的坐標.由得直線的斜率，從而得直線的方程，再令,得點R的橫坐標為，利用點M滿足化簡得
試題解析：（1）由，解得，故
（2）①因為,所以直線的方程為，
從而的方程為 6分
又直線的方程為,故圓心到直線的距離為  8分
從而截直線所得的弦長為   9分
②證:設,則直線的方程為,則點P的坐標為,
又直線的斜率為,而,
所以,從而直線的方程為 12分
令,得點R的橫坐標為      13分
又點M在橢圓上,所以,即,故,
所以直線與軸的交點為定點,且該定點的坐標為      15分
考點：橢圓方程，直線與圓錐曲線位置關系，圓的弦長