Question

【題目】已知函數．

討論函數的單調性；

若關于x的方程有唯一解，且，，求n的值．

Answer 1

【答案】(1) 當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增，函數在上單調遞減；

（2）。

【解析】

（1）先通過函數得出解析式，再對分別進行討論；

（2）首先可以根據設，再對進行二次求導得出的最大值，并且根據方程有唯一解得出最大值等于0，然后進行聯立方程，計算得出結果。

（1）.

當時，，在上單調遞增；

當時，由解得；由解得，

綜上所述：當時，函數在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞增，

函數在上單調遞減.

（2）由已知可得方程有唯一解，且，.

設（），

即由唯一解，，.

由，令，

則，

所以在上單調遞減，即在上單調遞減.

又時，；時，，

故存在使得.

當時，，在上單調遞增，

時，，在上單調遞減.

又有唯一解，則必有

由消去得.

令，

則

.

故當時，，在上單調遞減，

當時，，在上單調遞增.

由，，

即存在，使得即.

又關于的方程有唯一解，且，，

所以.

故。