Question

【題目】設(shè)橢圓，右頂點(diǎn)是，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)(不同于點(diǎn))，若，求證:直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）由橢圓右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A（2，0），離心率，可得a，c的值，由此可得橢圓C的方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)，易得，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，直線，與橢圓方程聯(lián)立，得，由可得，從而得證.

（1）右頂點(diǎn)是，離心率為，

所以，∴，則，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)，

與橢圓方程聯(lián)立得：，，

設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，，即，

∴或 (舍），

∴直線過定點(diǎn)；

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線斜率為，，則直線，與橢圓方程聯(lián)立，得，

，，，

，

，則，

即，

∴，

∴或，

∴直線或，

∴直線過定點(diǎn)或舍去；

綜上知直線過定點(diǎn).