Question

【題目】圓周上有個點，用弦兩兩連結起來，其中任何3條弦都不在圓內共點.現將由此形成的互補重疊的圓內區域的個數記為.

（1）.直接畫圖求出，，，，；

（2）.確定的表達式.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】

（1）由下圖可得，，，，

由前4個數值我們會猜測，但否定了這個猜測.

（2）一般地，我們將所求區域分成兩部分，一部分是個弓形，另一部分是多邊形內被對角線分成的區域．為敘述方便，我們將這些區域稱為內區，而對角線交點（下圖中）稱為結點.

考慮的情況（否則無結點，失去一般性）設多邊形的內區中有個三角形，個四邊形，，個邊形，則邊形的內區有（個）.

從而，.

可見關鍵是求出來，分3步進行，

（i）先計算各內區頂點總和的表達式.首先.

由于多邊形內每一個結點與多邊形的4個頂點一一對應（如上圖中，與，，，對應），故結點共有個，且每一內點對應著4個區域.而多邊形的每一個頂點可引出條對角線，都是個三角形的公共點，因此，又可表示為，

即. ①

（ii）再計算各內區內角總和的表達式.首先

由于每一個內點都含有一個周角，總和為.而邊形的每一個頂點上各角之和為，又有

對比的兩種表達式得

. ②

（iii）求出，進而得出.

由①-②得

.

從而，.

這個式子也可以表示為

. ③

若約定，則的通項公式可用上述任一表達式.由于，

所以，③與④的前5項相同，時，猜想就不對了.