Question

關于方程x²+2y²-ax+ay-a-1=0（a∈R）表示的橢圓，給出以下四個命題：①橢圓的中心在一條直線上運動；②橢圓的大小不變；③不論a取什么值，橢圓總過兩個定點；④橢圓的離心率不變．其中錯誤命題的個數是

 

．

Answer 1

分析：橢圓的方程化簡成標準方程，進而可知橢圓的中心為（

a

2

，-

a

4

）在直線y=

1

2

x上運動判斷①正確；根據橢圓的標準方程，求得e=

1

2

為常數，故判斷④成立；根據隨a的變化橢圓的長軸和短軸均變化，判斷②不成立；把橢圓的方程又可寫成x²+2y²-1+a（-x+y-1）=0，令

x2+2y2-1=0 -x+y-1=0

消y后根據△＞0判斷方程組有兩組解，判斷③成立．

解答：解：橢圓的方程化簡得

(x- a 2 )2

3a2+8a+8 8

+

(y+ a 4 )2

3a2+8a+8 16

=1
則橢圓的中心為（

a

2

，-

a

4

）在直線y=

1

2

x上運動，故①正確．
e=

3a2+8a+8 8 - 3a2+8a+8 16

3a2+8a+8 8

=

1

2

，
∴橢圓的離心率不變，故④成立．
隨a的變化，

3a2+8a+8

8

和

3a2+8a+8

16

均變化，故②不成立．
橢圓的方程又可寫成x²+2y²-1+a（-x+y-1）=0，令

x2+2y2-1=0 -x+y-1=0

，消y得3x²+4y+1=0
根據△=16-12＞0，可知方程組有兩組解．故③成立．
∴命題中只有②不成立
故答案為：1

點評：本題主要考查了橢圓的性質．屬基礎題．