Question

【題目】《九章算術》是我國古代數學名著，它在幾何學中的研究比西方早1千多年.在《九章算術》中，將底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵，陽馬指底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑指四個面均為直角三角形的四面體.如圖，在塹堵中，.

（1）求證：四棱錐為陽馬；并判斷四面體是否為鱉臑，若是，請寫出各個面的直角（要求寫出結論）.

（2）若，當陽馬體積最大時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；是，，，，；（2）.

【解析】

（1）由塹堵的性質得：四邊形是矩形，推導出，，從而BC⊥平面，由此能證明四棱錐為陽馬，四面體是否為鱉臑;

（2）陽馬B﹣A1ACC1的體積：陽馬的體積：，當且僅當時，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出當陽馬體積最大時，二面角的余弦值．

證明：（1）由塹堵的性質得：四邊形是矩形，底面，平面，，

又，，平面，面，四棱錐為陽馬，

四面體為鱉臑，四個面的直角分別是，，，.

（2），由（1）知陽馬的體積：

，當且僅當時，，

以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，，

，，

設平面的法向量，則，取，得，

設平面的法向量，則，取，得，

設當陽馬體積最大時，二面角的平面角為，則，

當陽馬體積最大時，二面角的余弦值為.