Question

【題目】平面直角坐標系中，縱、橫坐標都是整數的點稱為整點。請設計一種方法將所有的整點染色，每一個整點染成白色、紅色或黑色中的一種顏色，使得

（1）每一種顏色的點出現在無窮多條平行于橫軸的直線上；

（2）對于任意白點、紅點及黑點，總可以找到一個紅點，使為一平行四邊形。證明你設計的方法符合上述要求。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

我們可將整點按以下方法染色:

當是偶數時,染紅色;

當為奇數時而為偶數時,染白色

當為偶數而為奇數時,染黑色.

這樣染色顯然符合要求(1)

以下證明這樣的染色方法也符合要求,(2).

設點為白色,點為紅色,點為黑色.

我們先證明不共線.事實上,與的奇偶性不同,與都是奇數,從而.

因是奇數,故;,若

則這三點不共線.

若,則

,故這三點仍不共線

因此,在任何情況下A,B,C不共線.

再取點,其中

.

顯然D為整點,且因AC和BD的中點都是

所以四邊形ABCD為平行四邊形.

又因是偶數,故點D恰為紅色點,即這樣的染色方法也滿足要求(2).

解二:用拉丁字母表偶數;希臘字母 表奇數.

凡縱、橫坐標均為偶數的整點,即整點,…染成白色;縱、橫坐標均為奇數的整點,即整點,…染成黑色;其余整點染成紅色.

這樣的染色方法,顯然符合要求(1).

以下證明這樣的染色方法也符合要求(2).

設白點A為,黑點C為,紅點B為或首先,當B的坐標為時, 不共線這是因為

其次,線段AC的中點的坐標為,

取整點,由于為奇數, 為偶數,故D為紅點,且線段的中點也是M,即相互平分,故四邊形是一個平行四邊形,而是這個平行四邊形的四個頂點,

當B的坐標為時,同理可證結論成立.

說明:此題的第(2)條應加上“不包括蛻化的平行四邊形”的條件.