Question

【題目】已知正方形ABCD的邊長為2,AC∩BD=O.將正方形ABCD沿對角線BD折起,使AC=a,得到三棱錐A-BCD,如圖所示.

(1)當(dāng)a=2時(shí),求證:AO⊥平面BCD.

(2)當(dāng)二面角A-BD-C的大小為120°時(shí),求二面角A-BC-D的正切值.

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2)

【解析】

(1)根據(jù)題意,在△AOC中,AC=a=2,AO=CO=,

所以AC2=AO2+CO2,所以AO⊥CO.

又AO⊥BD,BD∩CO=O,

所以AO⊥平面BCD.

(2)折疊后,BD⊥AO,BD⊥CO.所以∠AOC是二面角A-BD-C的平面角,即∠AOC=120°.在△AOC中,AO=CO=,所以AC=.

如圖,過點(diǎn)A作CO的垂線交CO延長線于點(diǎn)H,

因?yàn)?/span>BD⊥CO,BD⊥AO,且CO∩AO=O,所以BD⊥平面AOC.因?yàn)?/span>AH平面AOC,所以BD⊥AH.

又CO⊥AH,且CO∩BD=O,所以AH⊥平面BCD.所以AH⊥BC.過點(diǎn)A作AK⊥BC,垂足為K,連接HK,因?yàn)?/span>BC⊥AH,AK∩AH=A,所以BC⊥平面AHK.因?yàn)?/span>HK平面AHK,所以BC⊥HK.所以∠AKH為二面角A-BC-D的平面角.

在△AOH中,得AH=,OH=,所以CH=CO+OH=+=.

在Rt△CHK中,HK==,

在Rt△AHK中,tan∠AKH===.

所以二面角A-BC-D的正切值為.