Question

【題目】設Sn是數列{an}的前n項和，已知a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若 =3n﹣1，求數列{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）∵an+1=2Sn+1，∴an=2Sn﹣1+1，（n≥2）， 兩式相減得：an+1﹣an=2an ， 即 =3．
又n=1時，a2=2a1+1=3，∴ ，
∴{an}是以1為首項，以3為公比的等比數列．
∴an=3n﹣1 ．
（II）bn=（3n﹣1）an=（3n﹣1）3n﹣1 ，
∴Tn=230+531+832+…+（3n﹣1）3n﹣1 ， ①
∴3Tn=231+532+833+…+（3n﹣1）3n ， ②
∴﹣2Tn=2+32+33+34+…+3n﹣（3n﹣1）3n
= ﹣1﹣（3n﹣1）3n=（ ）3n﹣ ，
∴Tn=（ ﹣ ）3n+ ．
【解析】（I）由條件得an=2Sn﹣1+1（n≥2），與條件式相減可得 =3，再驗證 即可得{an}為等比數列，從而求出通項公式；（II）化簡得bn=（3n﹣1）3n﹣1 ， 使用錯位相減法求和即可．
【考點精析】掌握數列的前n項和和數列的通項公式是解答本題的根本，需要知道數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．