Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設g（x）=f（x）+ x2 ， 且函數(shù)g（x）有極大值點x0 ， 求證：x0f（x0）+1+ax02＞0．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=lnx﹣2x，則 ﹣2，x＞0， ∴f（1）=﹣2，f′（1）=﹣1，
∴函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y﹣（﹣2）=﹣（x﹣1），即x+y+1=0．
（Ⅱ）不等式f（x）≤1，即lnx﹣2ax≤1，∴2ax≥lnx﹣1，
∵x＞0，∴2a≥ 恒成立，
令φ（x）= （x＞0），則φ′（x）= ，
當0＜x＜e2時，φ′（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增，當x＞e2時，φ′（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減，
∴當x=e2時，φ（x）取得極大值，也為最大值，故φ（x）max=φ（e2）= ，
由2a≥ ，得a≥ ，∴實數(shù)a的取值范圍是[ ，+∞）．
（Ⅲ）證明：由g（x）=f（x）+ x2= ，得 ，
①當﹣1≤a≤1時，g（x）單調(diào)遞增無極值點，不符合題意；
②當a＞1或a＜﹣1時，令g′（x）=0，設x2﹣2ax+1=0的兩根為x0和x′，
∵x0為函數(shù)g（x）的極大值點，∴0＜x0＜x′，
由 =1， ，知a＞1，0＜x0＜1，
又由g′（x0）= =0，得a= ，
∵ =﹣ ，0＜x0＜1，
令h（x）=﹣ ，x∈（0，1），則 ，
令 ，x∈（0，1），則 ，
當 時，μ′（x）＞0，當 時，μ′（x）＜0，
∴μ（x）max=μ（ ）=ln ＜0，∴h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，∴h（x）＞h（1）=0，
∴x0f（x0）+1+ax02＞0．
【解析】（Ⅰ）當a=1時， ﹣2，由此利用導數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程．（Ⅱ）由不等式f（x）≤1，得2a≥ 恒成立，令φ（x）= （x＞0），則φ′（x）= ，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值范圍．（Ⅲ）由g（x）=f（x）+ x2= ，得 ，分類討論求出a= ，由x0f（x0）+1+ax02=﹣ ，令h（x）=﹣ ，x∈（0，1），則 ，利用構造法推導出h′（x）＜0，由此能證明x0f（x0）+1+ax02＞0．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的極值與導數(shù)的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．