Question

已知圓C：x²-2ax+y²-4y+a²=0（a＞0）及直線l：x-y+3=0，當直線l被圓C截得的弦長為2

2

時．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求過點（3，5）并與圓C相切的切線方程．

Answer 1

分析：（I）將圓C化成標準方程得到圓心坐標與半徑r，利用點到直線的距離公式算出C到直線l的距離，根據題意利用垂徑定理建立關于a的方程，解之即可得到實數a的值；
（II）根據（I）的計算可得圓C的方程為（x-1）²+（y-2）²=4，設所求切線為m：y-5=k（x-3），利用點到直線的距離公式建立關于k的等式，解出k=

5

12

，可得直線m方程為5x-12y+45=0．再由當直線m的斜率不存在時方程為x=3，也與圓C相切，可得過點（3，5）并與圓C相切的直線方程．

解答：解：（I）∵圓C方程為x²-2ax+y²-4y+a²=0，
∴化成標準方程得（x-a）²+（y-2）²=4，
可得圓心為C（a，2），半徑r=2．
由此可得C到直線l：x-y+3=0的距離為d=

|a-2+3|

2

=

2

2

|a+1|，
∵直線l被圓C截得的弦長為2

2

，
∴根據垂徑定理，可得

r2-d2

=

2

，
即

4- 1 2 (a+1)2

=

2

，
解得a=1或-3，
結合a＞0，可得a=1（負值舍去）；
（II）由（I）可得圓C的方程為（x-1）²+（y-2）²=4，
設過點（3，5）并與圓C相切的直線為m：y-5=k（x-3），
即kx-y-3k+5=0，
∵直線m與圓C相切，
∴點C到直線m的距離等于半徑，
即

|k-2-3k+5|

k2+1

=2，解之得k=

5

12

，
可得直線m方程為y-5=

5

12

（x-3），
化簡得5x-12y+45=0．
又∵當經過點（3，5）的直線斜率不存在時，方程為x=3，也與圓C相切，
∴所求切線方程為x=3和5x-12y+45=0．

點評：本題給出含有參數a的圓方程，在已知定直線被圓截得弦長時求參數a的值，并求經過定點的圓的切線方程．著重考查了圓的標準方程、點到直線的距離公式、直線的方程和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．