Question

【題目】已知函數．
（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）求證：當時，；
（Ⅲ）設實數k使得對恒成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）證明見解析，（Ⅲ）k的最大值為2.
【解析】
（Ⅰ），,,,曲線y=f(x)在點（0，f(0))處的切線方程為
（Ⅱ）當時，,即不等式,對成立，設,則,當時，,故在（0，1）上為增函數，則,因此對，成立；
（Ⅲ）使成立，，等價于，；，
當時，，函數在（0，1）上為增函數，，符合題意；
當時，令,,不合題意，
所以k的最大值為2.
【考點精析】掌握導數的幾何意義是解答本題的根本，需要知道通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數在處的導數就是切線PT的斜率k，即．