Question

【題目】已知函數 為偶函數，且函數的y=f（x）圖象相鄰的兩條對稱軸間的距離為 ．
（1）求 的值；
（2）將y=f（x）的圖象向右平移 個單位后，再將所得的圖象上個點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求y=g（x）的單調區間，并求其在 上的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）= sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ﹣ ），…1分

因為函數是偶函數，

所以φ﹣ =kπ+ ，k∈Z，解得：φ=kπ+ ，k∈Z，

∵﹣ ＜φ＜0，

∴φ=﹣ ．

函數y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為 ，

所以T=π，T= =π，所以ω=2；

f（x）=2sin（2x﹣ ）=﹣2cos2x，…5分

則f（ ）=﹣2cos（2× ）=﹣2cos（ ﹣ ）=﹣

（2）解：由函數圖象的變換可知，y=g（x）=﹣2cos（ x﹣ ），

由2kπ≤ x﹣ ≤2kπ+π，k∈Z，解得：4kπ+ ≤x≤4kπ+ ，k∈Z，

即函數y=g（x）的單調遞增區間為：[4kπ+ ，4kπ+ ]k∈Z，

由2kπ+π≤ x﹣ ≤2kπ+2π，k∈Z，解得：4kπ+ ≤x≤4kπ+ ，k∈Z，

即函數y=g（x）的單調遞減區間為：[4kπ+ ，4kπ+ ]k∈Z，

∵x∈ ，

∴結合函數的單調性可知：

當 x﹣ =0，即x= 時，y=g（x）最小值為﹣2

當 x﹣ =﹣ ，即x=﹣ 時，y=g（x）最大值為0

【解析】（1）通過兩角差的正弦函數化簡函數的表達式，求出函數的周期，利用函數是偶函數求出φ，然后求解 的值．（2）由函數圖象的變換可求g（x）=﹣2cos（ x﹣ ），利用余弦函數的單調性可求y=g（x）的單調區間，由x∈ ，結合函數的單調性可求最大值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關知識，掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．