Question

【題目】已知函數 是奇函數，f（x）=lg（10x+1）+bx是偶函數．
（1）求a和b的值．
（2）說明函數g（x）的單調性；若對任意的t∈[0，+∞），不等式g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，求實數k的取值范圍．
（3）設 ，若存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg（10a+9）]成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由g（0）=0得，a=1，

則 ，

經檢驗g（x）是奇函數，

故a=1，

由f（﹣1）=f（1）得，則 ，

故 ，

經檢驗f（x）是偶函數

∴a=1，

（2）解：∵ ，且g（x）在（﹣∞，+∞）單調遞增，且g（x）為奇函數．

∴由g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，

得g（t2﹣2t）＞﹣g（2t2﹣k）=g（﹣2t2+k），

∴t2﹣2t＞﹣2t2+k，t∈[0，+∞）恒成立

即3t2﹣2t＞k，t∈[0，+∞）恒成立

令F（x）=3t2﹣2t，在[0，+∞）的最小值為

∴

（3）解：h（x）=lg（10x+1），

h（lg（10a+9））=lg[10lg（10a+9）+1]=lg（10a+10）

則由已知得，存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞lg（10a+10）成立，

而g（x）在（﹣∞，1]單增，

∴

∴

∴

又

又∵

∴

∴

【解析】（1）由函數 是奇函數，f（x）=lg（10x+1）+bx是偶函數，可得g（0）=0，f（﹣1）=f（1），進而可得a和b的值．（2）g（x）在（﹣∞，+∞）單調遞增，且g（x）為奇函數．若g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，則3t2﹣2t＞k，t∈[0，+∞）恒成立，令F（x）=3t2﹣2t，求其最值，可得答案；（3）h（x）=lg（10x+1），若存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞lg（10a+10）成立，則 ，解得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對函數奇偶性的性質的理解，了解在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．