Question

（2013•重慶）設f（x）=a（x﹣5）²+6lnx，其中a∈R，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸相交于點（0，6）．
（1）確定a的值；
（2）求函數f（x）的單調區間與極值．

Answer 1

（1）   （2）見解析

（1）因f（x）=a（x﹣5）²+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），
令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），
由切線與y軸相交于點（0，6）．
∴6﹣16a=8a﹣6，
∴a=．
（2）由（1）得f（x）=（x﹣5）²+6lnx，（x＞0），
f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，
當0＜x＜2或x＞3時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上為增函數，
當2＜x＜3時，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上為減函數，
故f（x）在x=2時取得極大值f（2）=+6ln2，在x=3時取得極小值f（3）=2+6ln3．