Question

【題目】如圖，在四棱錐B﹣ACDE中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，∠ABC=3∠BAC=90°，BF⊥AC于F，AC=4CD=4，AE=3．

（1）求證：BE⊥DF；
（2）求二面角B﹣DE﹣F的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）方法一（幾何法）：

證明：∵AE⊥平面ABC，BF平面ABC，∴AE⊥BF，

∵BF⊥AC，AE∩AC=A，

∴BF⊥平面AEC，DF平面AEC，∴BF⊥DF，

∵∠ABC=3∠BAC=90°，又AC=4CD=4，

∴∠BAC=30°．CD=1．

∴ ，

又BF⊥AC．∴ ，

又CD∥AE，AE⊥平面ABC，∴CD⊥平面ABC．

又AC平面ABC．∴CD⊥AC，∴∠DFC=45°．

又AF=AC﹣CF=3=AE，∴∠EFA=45°，

∴∠EFD=90°，即DF⊥EF．

又BF∩EF=F，BF．EF平面BEF．

∴DF⊥平面BEF，BE平面BEF．

∴DF⊥BE．

方法二（向量法）：

證明：（Ⅰ）過F作Fz∥AE，由AE⊥平面ABC可知Fz⊥平面ABC，

又AC．BF平面ABC，于是Fz⊥AC，Fz⊥BF，

又BF⊥AC，∴BF．AC．Fz兩兩垂直．

以F為原點，FA．FB．Fz依次為x．y．z軸建立空間直角坐標系（如圖）．

∵∠ABC=3∠BAC=90°，AC=4CD=4，AE=3，

∴CD=1，∠BAC=30°．

∴ ， ，AF=AC﹣FC=3， ．…（3分）

于是F（0，0，0）， ，D（﹣1，0，1），E（3，0，3）， ， ．

故 ．

所以DF⊥BE

（2）方法一（幾何法）：

解：如圖，過點F作FG⊥DE于點G，連接BG．

由（1）知BF⊥平面AEC，又DE平面AEC，∴BF⊥DE．

又BF∩FG=F，BF．FG平面BFG，∴DE⊥平面BFG．

又BG平面BFG，∴BG⊥FG．（三垂線定理）

故∠BGF二面角B﹣DE﹣F的平面角．

在Rt△EAF中， ．

在Rt△FCD中， ．

在Rt△EFD中， ．

由EFFD=FGED得 ．

在Rt△BFC中， ．

在Rt△BFG中， ．

∴ ．

∴二面角B﹣DE﹣F的平面角的余弦值為 ．

方法二（向量法）：

解：（2）由（1）知 ， ， ， ．

于是 ，所以FB⊥FE，又FB⊥AC．

所以 是平面DEF的一個法向量．

設 是平面BDE的一個法向量，則

取z=2，得到 ．

∴ ．

又二面角B﹣DE﹣F是銳二面角．

∴二面角B﹣DE﹣F的平面角的余弦值為 ．

【解析】方法一（幾何法）：（1）推導出AE⊥BF，BF⊥AC，從而BF⊥DF，再求出CD⊥平面ABC，從而CD⊥AC，進而DF⊥EF，由此能證明DF⊥平面BEF，從而得到DF⊥BE．（2）過點F作FG⊥DE于點G，連接BG，則∠BGF二面角B﹣DE﹣F的平面角，由此能求出二面角B﹣DE﹣F的平面角的余弦值．
方法二（向量法）：（1）過F作Fz∥AE，以F為原點，FA．FB．Fz依次為x．y．z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能證明DF⊥BE．（2）求出平面DEF的一個法向量和平面BDE的一個法向量，利用向量法能求出二面角B﹣DE﹣F的平面角的余弦值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．