Question

【題目】函數(shù)f（x）在[a，b]上有定義，若對任意x1 ， x2∈[a，b]，有 則稱f（x）在[a，b]上具有性質(zhì)P．設f（x）在[1，3]上具有性質(zhì)P，現(xiàn)給出如下命題：
①f（x）在[1，3]上的圖象是連續(xù)不斷的；
②f（x2）在[1， ]上具有性質(zhì)P；
③若f（x）在x=2處取得最大值1，則f（x）=1，x∈[1，3]；
④對任意x1 ， x2 ， x3 ， x4∈[1，3]，有 [f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]
其中真命題的序號是（ ）
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：在①中，反例：f（x）= 在[1，3]上滿足性質(zhì)P，
但f（x）在[1，3]上不是連續(xù)函數(shù)，故①不成立；
在②中，反例：f（x）=﹣x在[1，3]上滿足性質(zhì)P，但f（x2）=﹣x2在[1， ]上不滿足性質(zhì)P，
故②不成立；
在③中：在[1，3]上，f（2）=f（ ）≤ ，
∴ ，
故f（x）=1，
∴對任意的x1 ， x2∈[1，3]，f（x）=1，
故③成立；
在④中，對任意x1 ， x2 ， x3 ， x4∈[1，3]，
有 =
≤
≤
= [f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，
∴ [f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，
故④成立．
故選D．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關知識點，需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．