Question

【題目】已知圓心在軸上的圓與直線切于點.圓： ．

（1）求圓的標準方程；

（2）已知，圓與軸相交于兩點（點在點的右側）．過點任作一條傾斜角不為0的直線與圓相交于兩點．問：是否存在實數，使得？若存在，求出實數的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）切點在直線上，故，從而求出過切點且垂直切線的直線，它與軸的交點就是圓心，半徑是，從而求得圓的標準方程為.（2）先求出，若，則,即，用韋達定理把該方程轉化為，聯立用韋達定理把所得方程化簡為，從而得到.

解析：（1）設圓心的坐標為，由點在直線上，知： ，則，又， ，則 ，故，所以，即半徑. 故圓的標準方程為.

（2） 假設這樣的存在，在圓中，令，得： ，解得： ，又由知，所以： .由題可知直線的傾斜角不為0，設直線： ， ， ，消元得.∵點在圓內部，∴有恒成立，又 .因為，所以,即，也即是，整理得，從而，化簡有，因為對任意的都要成立，所以，由此可得假設成立，存在滿足條件的，且.