Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形， ， ， 底面．

（1）證明：平面平面；

（2）若二面角的大小為，求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）先利用勾股定理和線面垂直的性質得到線線垂直，再利用線面垂直的判定定理進行證明；（2）先利用前一步結論得到垂直關系，進而找出二面角的平面角，以垂直關系建立適當的空間直角坐標系，將線面角轉化為空間向量進行求解.

試題解析：（1）∵，∴，

又∵底面， 底面，∴

又∵，∴平面.

而平面，∴平面平面.（2）由（1）所證， 平面，所以即為二面角的平面角，即，

而，所以.

因為底面為平行四邊形， ，

分別以為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，

則， ， ， ，

所以， ， ，

設平面的法向量為，則，即，

令，則

∴與平面所成角的正弦值為.