Question

【題目】已知函數f（x）是定義在R上不恒為0的函數，且對于任意的實數a，b滿足f（2）=2，f（ab）=af（b）+bf（a），an= （n∈N*），bn= （n∈N*），給出下列命題：
①f（0）=f（1）；
②f（x）為奇函數；
③數列{an}為等差數列；
④數列{bn}為等比數列．
其中正確的命題是 ． （寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

【答案】①②③④
【解析】解：∵取a=b=0，可得f（0）=0，
取a=b=1，可得f（1）=2f（1），即f（1）=0，
∴f（0）=f（1），
即①正確；
令a=b=﹣1，則f（1）=﹣f（﹣1）﹣f（﹣1）=0f（﹣1）=0，
令a=﹣1，則f（﹣b）=﹣f（b）+bf（﹣1）=﹣f（b）f（x）為奇函數，
即②正確；
∵f（ab）=af（b）+bf（a），
∴f（2n）=f（22n﹣1）=2f（2n﹣1）+2n﹣1f（2）
=2f（2n﹣1）+2n=…=n2n ，
∴an= =n，bn= =2n ，
即有③④正確．
所以答案是：①②③④．
【考點精析】通過靈活運用數列的通項公式，掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式即可以解答此題．