Question

【題目】已知點，直線上有兩點E，F使，點P在線段的延長線上，且.

（1）若，求點P的軌跡方程；

（2）若在點P的軌跡上存在兩點M，N，設，的夾角為.

①若，求證：直線過定點，并求定點坐標；

②若為銳角，求直線與x軸交點橫坐標的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析，；②或..

【解析】

先利用參數求出點軌跡方程，

（1）代入后可得（注意去掉原點）；

（2）設點的坐標為，點的坐標為，，代入（1）中方程然后相減可得，寫出直線方程，令得，

①若，．由此可得，代入后得定點坐標；

②若為銳角，，可得的范圍，從而出結論．

解：設點的坐標為，點的坐標為，則點的坐標為，

因為點在線段的延長線上，∴，∴

所以點的坐標為，∴，.

，∴，∴.

（1）若，則點的軌跡方程是.

（2）設點的坐標為，點的坐標為，，

∴，，∴

∴

∴直線的方程是即

令，得.……………………（1）

①若，∴，∴.

∴，∴

代入（1）式得，所以直線過定點，該定點坐標是.

②若為銳角，∴，∴

∴，

∴，∴，

∴或

代入（1）式得或.

直線與軸交點橫坐標的取值范圍是或.